Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора – это работа, которая была потрачена на его зарядку.

Из истории

Исторически первым конденсатором является лейденская банка. Её разработали независимо сразу двое учёных:

  1. Эвальд Георг фон Клейст (11 октября 1745 года).
  2. Питер ван Мушенбрук (1745 – 1746 годы).

Двумя десятилетиями позже на свет появился электрофорус (1762 год), который можно рассматривать, как первый плоский конденсатор. В это время не существовало терминов, и проблема накопления заряда мало кого интересовали. Учёные пока что развлекались получением статического заряда. Так например, ваш Мушенбрук испытывал лейденскую банку на слишком смелых студентах, после того как сам оказался однажды полупарализован электрическим зарядом.

Наука не шла вперёд, хотя такие светила, как Бенджамин Франклин вовсю толкали паровоз. Современный этап развития физики начался с Алессандро Волты. Этот учёный был привлечён конструкцией электрофоруса и заинтригован. Натёртая резина могла сколь угодно долго заряжать металлическую пластину. В то время предполагалось, что электричество переносится флюидами атмосферы, и Вольта считал в точности так же. Узрев, что электрофорус может запасать заряд, учёный решил посчитать и количество.

Концепция Вольты

Как свидетельствуют записки учёного, уже в 1778 году он имел представление о разнице потенциалов, которые называл tension – напряжение. С 1775 года Вольта придерживается концепции электрической ёмкости – capacita, выдвинутой его учителем Беккарией. Он уже знает, что электрофорус способен накопить заряд, называет прибор конденсатором, и решает подтвердить теорию практикой. Проще говоря, – найти взаимосвязь напряжения, ёмкости и объёмом (quantita) заряда.

Вольта начал с лейденской банки. Он заряжал её от статического генератора и пробовал определить энергию конденсатора следующими путями:

  1. Наблюдал получаемую искру электрической дуги от различной конструкции лейденских банок, заряженных одним и тем же напряжением.
  2. Измерял количество произведённой электростатическими генераторами трения работу до тех пор, пока показания электрометра не росли до определённого уровня.
  3. Разряжал лейденские банки на открытом воздухе и пытался сравнить производимый ими электрический шок по истечении некоторого времени.

Все это привело его к странным выводам, что высокие лейденские банки более вместительные (при одинаковых площадях обкладок и прочих равных условиях). Скорее всего это как-то связано со скоростью разряда их дуги на воздухе вследствие различий в кривизне поверхностей. Силу разряда Вольта увязывал с электрическим током: чем быстрее течёт флюид, тем более жарким (по ощущениям) является эффект. В результате, Вольта счёл, что разница потенциалов одна определяет процесс возникновения удара.  Он решил, что напряжение можно измерить двумя путями:

  1. Через количество оборотов генератора статического заряда.
  2. Сравнивая силу электрического удара при разряде лейденской банки.

Так он нашёл, что заряжая пустую лейденскую банку от полной, шок можно получить вдвое слабее. Постепенно (1782 год) Вольта пришёл к выводу, что вышеуказанные величины соотносятся между собой следующим образом: tension x capacity ~ load, в современном мире это выглядит, как U C = q или  C = q / U.

Из этого Вольта заключил, что ёмкость больше там, где при меньшем напряжении вмещается больше заряда. Далее последовало заключение, что количество накопленного флюида прямо пропорционально площади обкладок плоского конденсатора. Что совершенно согласуется с современными формулами. Вольта обобщил это на случай произвольного проводника (он экспериментировал с стержнями лейденских банок). Изменяя расстояние между обкладками, он установил:

С ~ S / d.

Что фактически является выражением для ёмкости плоского конденсатора. Вольта объяснил зависимость наличием некоего сопротивления (resistance) между обкладками, имея в виду воздух. И изменяя дистанцию, можно варьировать этот параметр в ту или иную сторону. Несмотря на то, что это немного не согласуется с современными концепциями, именно Вольта помог Георгу Ому 40 лет спустя вывести зависимость между током и напряжением.

Читайте также:  Коллекторный двигатель

Фактически все измерения были проделаны на основе работы поля. А она, в свою очередь, могла проявиться лишь вследствие заряда конденсатора. Очевидно, что эта величина и равна энергии – одной из первых физических характеристики, использованных для выводы аналитических выражений.

Единицы измерения

Энергию и работу принято измерять в джоулях, а электрическое напряжение и потенциал – в вольтах.

Вольтом называется разница потенциалов, при перемещении единичного положительного заряда между которыми совершается работа в 1 джоуль.

Ёмкость конденсатора

Выше было показано, как выразил ёмкость конденсатора Вольта. Эта формула понадобится при вычислении энергии. Направление силовых линий определено Кулоном, согласно показаниям крутильных весов, что позволило физикам со временем вывести свои формулы. Вольта был близок к внедрению понятия электрического потенциала, нельзя также обойти вниманием его наставников: Беккария и Кавендиша. Благодаря этим людям физика начала более пристальное внимание обращать на магнетизм и электричество.

Работа электрического поля

Электрическое поле называется потенциальным. Это значит, что работа его сил не зависит от траектории движения заряда, но только от энергии начального и конечного положения. Следует напомнить, что согласно определению:

Электрическое поле – это материя посредством которой взаимодействуют электрические заряды.

В переводе на русский это означает, что электрическое поле не действует ни на что более, как только на электрические заряды. А вот создаваться оно может двумя путями:

  1. Электрическими зарядами. Силовые линии начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.
  2. Изменяющимся магнитным полем. При этом образуется электромагнитная волна. Что используется в генераторах.

Когда говорят, что излучение приборов действует на человека, имеются в виду и магнитная, и электрическая составляющие. Особенно опасна первая, которая с большим трудом экранируется. Электрическое поле, рассматриваемое в физике школьного курса, является стационарным, а линии напряжённости его параллельны. В этом случае приводятся следующие два примера:

  1. Допустим, что заряд перемещается вдоль линий поля на некоторое расстояние l. Тогда работа находится по упрощённой формуле A = Fl, где F – сила, действующая на заряд.
  2. Теперь предположим, что заряд переместился из той же точки по косой линии. Так, что проекция пути lb на силовые линии опять же равна l. Участок прямолинейный, а угол отклонения – В. Тогда работа вычисляется по формуле с учётом геометрических соотношений, как A = FlbcosB = Fl.

Этот простой случай, легко распространяется на любую форму линий напряжённости. Сие означает, что в электрическом поле работа не зависит от траектории, а значит, она равна разнице потенциалов поля: А = П1 – П2. На эта формула применима для любого поля. Чтобы адаптировать её, вводят понятие электрического потенциала, как энергию единичного положительного заряда – ф = П / q1. В связи с чем формула для работы принимает несколько иной вид.

Электрическим напряжением между двумя точками называется разница потенциалов между ними. Умножая это значение на величину заряда, поскольку величина удельная, получаем: А = (ф1 – ф2) q = U q. В свою очередь, потенциал через величины поля находится, как:

ф = q / 4 ε Пи r,

где q – величина заряда, создающего поля; ε – диэлектрическая проницаемость среды (для воздуха и вакуума равна единице); Пи = 3,14; r – расстояние до исследуемой точки от упомянутого заряда. Эта формула годится далеко не для всех случаев и приведена для примера. Её можно применять также для заряда, распределённого по поверхности шара, и точек, лежащих вне этой поверхности.

Читайте также:  Двухтарифный счётчик электроэнергии

Напряжённость поля плоского конденсатора

В физике рассмотрение всегда ведётся на примере плоского конденсатора, потому что это самый простой случай. Иное дети попросту не поймут, даже если они совершеннолетние. Акселерация! Поле плоского конденсатора в точности соответствует тому, что описано выше.

Пусть на обкладках имеется некий заряд. Очевидно, что объем его одинаков, а знаки различны. Работа по перемещению заряда между обкладками равна A = F d, где под d понимается ширина зазора. Эта формула прямиком приводит к связи с напряжённостью: А = Е q d = U q (см. выше). Следовательно, можно записать, что Е = U / d.

Напряжённость поля показывает, с какой силой оно действует на единичный точечный заряд.

Энергия заряженного конденсатора

Теперь нужно понять, как посчитать энергию при заряде конденсатора. Для этого нужно вспомнить формулу потенциала, создаваемого точечным зарядом. Видно, что он убывает линейно расстоянием. Но в нашем случае один заряда положительный и находится на одной обкладке, а второй отрицательный и расположился напротив. Следовательно, по мере движения в направлении силовой линии, наблюдается такая картина:

  1. Потенциал положительного заряда падает.
  2. Потенциала отрицательного заряда растёт.

Причём скорость изменения их одинакова. Следовательно, между обкладками плоского конденсатора потенциал поля не меняется. Теперь вспомним, от чего он зависит. В нашем случае все величины постоянны, кроме заряда, который накапливается на обкладках после подачи напряжения. Это значит, что потенциал постепенно растёт. Но поскольку он линейно зависит от заряда, то не важен график самого процесса. У нас получается прямая линия.

Это значит, что в начальный момент времени потенциал равен нулю, а затем растёт до некоторого предела. И графиком зависимости потенциала от количества зарядов будет прямая линия (по времени выходит экспонента). Теперь поясним, зачем нужны были эти умозаключения:

  1. Известно, что энергия выражается затраченной работой.
  2. Значит можно записать формулу W = U q. Вроде бы все просто, поскольку заряд связан с ёмкостью, но чему здесь равно напряжение? Следует напомнить, что на конденсаторе оно растёт по экспоненте в процесса заряда. Брать интеграл по времени? Физики уже решили эту задачу.
  3. Поскольку потенциал (напряжение) линейно зависит от заряда, то можно заключить, что общая работа находится усреднением, что при прямой линии сводится к операции деления на 2.

В итоге: W = U q / 2. Теперь подставим сюда выражение, полученное Алессандрой Вольтой, и выйдет следующее: W = C U2 / 2. Этим выражением и пользуются при расчётах.

Зачем нужно знать энергию заряженного конденсатора

При расчёте фильтров цепей питания и многих других электрических фильтров встаёт задача определения номиналов. Казалось бы, достаточно взять формулу частоты резонансного контура, но не все так просто. Можно легко убедиться, что одному и тому же ответу соответствует множество значений. Которое из них выбрать?

Чем больше мощность источника, питания прибора, тем большая энергия должна здесь проходить в единицу времени. Для конденсатора она зависит от квадрата напряжения и ёмкости, а для дросселя – от величины электрического тока и индуктивности. Зная период одного колебания, эту цифру легко можно привязать к мощности, как выполняемой работе в единицу времени.

В результате инженер может примерно сказать, какого размера ёмкость требуется в том или ином случае. А расчёт ведётся изначально по энергии заряженного конденсатора.

В точности то же самое происходит в любой цепи. Конденсаторы служат для фильтрации и гальванической развязки, а потому должны легко пропускать нужную частоту и быть достаточно ёмкими, чтобы не являться бутылочным горлышком в системе.