Правило буравчика

Правило буравчика – это упрощённая и наглядная демонстрация буквально при помощи одной руки того, как правильно осуществлять умножение векторов. Дело в том, что геометрия школьного курса подразумевает осведомлённость только о скалярном произведении. Тогда как в физике часто встречается векторное. Вот и приходится профессорам буквально на пальцах, со штопором в руке объяснять ученикам, сколько весит килограмм гвоздей…

Что такое вектор

Мы полагаем, нет смысла толковать про правило буравчика при отсутствии знаний о том, что такое вектор. Когда стоит проблема открыть бутылку, то знание о том, как это делается, поможет тоже. Итак, вектором называют математическую абстракцию, которая не существует на самом деле и имеет следующие признаки:

  1. Это направленный отрезок, обычно обозначаемый стрелкой.
  2. Точкой начала обычно служит точка действия силы, которую описывает вектор.
  3. Длина вектора равна модулю силы, поля, прочих описываемых величин.

Не всегда речь идёт о силе. Так, например, векторами может описываться поле. С простейшим примером каждый сталкивался в школе на уроках физики. Мы сейчас говорим о линиях напряжённости магнитного поля. Вдоль них обычно и рисуются векторы по касательной. В иллюстрациях по действию на проводник с током это были прямые линии.

Векторное произведение

Векторное произведение

Векторные величины часто не имеют места приложения, поэтому центры действия выбираются по договорённости. Так, например, момент силы исходит из оси плеча. Это нужно для упрощения сложения. Допустим, на рычаги разной длины действуют неодинаковые силы, но приложенные к плечам с общей осью. Тогда простым сложением или вычитанием моментов можно найти результат.

Векторы помогают решить многие вполне обыденные задачи. Поэтому хотя и являются математическими абстракциями, действуют вполне реально. В частности, на основе некоторых закономерностей можно вести предсказание будущего поведения объекта. И наравне со скалярными величинами, такими как поголовье популяции и температура окружающей среды, экологов интересуют направления и скорость перелёта. А перемещение является, в свою очередь, векторной величиной.

Правило буравчика помогает найти векторное произведение векторов. Это не тавтология. Просто результатом этого действия также будет вектор. А правило буравчика описывает направление, куда будет указывать стрелка. Что касается модуля, то здесь уже нужно применять формулы. Правило буравчика – упрощённая и чисто качественная абстракция сложной математической операции.

Аналитическая геометрия в пространстве

Каждому известна задачка про то, как стоя на одном берегу реки, определить её ширину. Это кажется уму непостижимым, но решается в два счета методами простейшей геометрии, которую изучают ещё в школе. Для этого нужно проделать ряд несложных действий:

  1. Засечь на том берегу видный ориентир в виде воображаемой точки: ствол дерева, устье ручейка, впадающего в поток.
  2. Под прямым углом к линии противоположного берега сделать засечку на этой стороне русла.
  3. Найти место, с которого ориентир виден под углом 45 градусов к берегу.
  4. Ширина реки равна удалению конечной точки от засечки.
Определение ширины реки

Определение ширины реки

В более узком смысле нужно использовать тангенс угла. Не обязательно он должен быть равен 45 градусов. Если нужна большая точность, то угол лучше брать острым. Просто тангенс 45 градусов равен единице, и решение задачки упрощается.

Совершенно аналогичным образом удаётся найти ответы на самые животрепещущие вопросы. Даже и в микромире, где правят электроны. Поэтому можно однозначно сказать одно: только непосвящённому правило буравчика и векторное произведение векторов представляются скучными и занудными. На самом деле это удобный инструмент, помогающий в понимании многих процессов. Для большинства будет интересным принцип работы электрического двигателя (безотносительно к конструкции). И он легко может быть объяснён с использованием правила левой руки.

А есть и такое? Да, во многих отраслях науки бок о бок идут два правила: левой и правой руки. Дело в том, что векторное произведение иногда может описываться так или эдак. Звучит расплывчато, поэтому мы предлагаем немедленно же рассмотреть пример:

  • Допустим, имеется электрон. И эта отрицательно заряженная частица движется в постоянном магнитном поле. Очевидно, что траектория будет изогнута. Благодаря силе Лоренца. Многие могут сказать, что по утверждениям некоторых учёных электрон не является частицей, а скорее суперпозицией полей. На что мы заметим, что принцип неопределённости Гейзенберга будет рассмотрен как-нибудь в другой раз. Итак, электрон движется и:
Читайте также:  Сетевой фильтр

Если расположить правую руку так, чтобы вектор магнитного поля перпендикулярно входил в ладонь, а вытянутые персты указывали в направлении полёта частицы, то отогнутый на 90 градусов в сторону большой палец вытянется в направлении действия силы. Это и есть правило правой руки, являющееся иным выражением правила буравчика. Это как слова синонимы. Звучит по-разному, но по сути – одно и то же.

Правило левой руки

Правило левой руки

  • А теперь приведём фразу из Википедии, которая может показаться некоторым странной. При отражении в зеркале правая тройка векторов становится левой, и тогда нужно применять правило левой руки вместо правой. Как это? А вот так! Летел электрон у нас в одну сторону, а по методикам, принятым в физике, ток движется в противоположном направлении. Как бы отразился в зеркале, поэтому сила Лоренца определяется уже правилом левой руки:

Если расположить левую руку так, чтобы вектор магнитного поля перпендикулярно входил в ладонь, а вытянутые персты указывали в направлении течения электрического тока, то отогнутый на 90 градусов в сторону большой палец вытянется в направлении действия силы.

Вы видите, что ситуации очень похожие, а правила просты. Но как запомнить, которое из них нужно применять в том или ином случае? Это и есть главный принцип неопределённости в физике. А вовсе не Гейзенберга. Потому что векторное произведение вычисляется во многих случаях, причём правило в каждом случае применяется лишь одно. Но какое? Давайте по порядку.

Какие правила бывают, и которое нужно применить

Слова синонимы: рука, винт и буравчик

Вначале разберём слова-синонимы, потому что многие уже начали спрашивать себя: если тут повествование должно идти про буравчик, то почему в тексте все время фигурирует рука. Для этого нам нужно понять, что такой правая тройка, и правая система координат. Итого, у нас уже 5 слов-синонимов.

Мы никогда бы не добрались до книги Умнова А. Е. По аналитической геометрии и линейной алгебре, потому что пятёрка давно уже стоит в зачётке, но потребовалось выяснить, что такое векторное произведение векторов, и тут оказалось, что в школе это не проходят. Опа! А как же нас тогда поймут любознательные школьники, которые вместо Ютуба по вечерам носом зароются в нашу скромную энциклопедию? Пришлось прояснить и для себя тоже.

Школьная система координат

Школьная система координат

На пальцах: в школе графики обычно на доске рисуют в системе координат Х-Y. Горизонтальная ось (её положительная часть) направлена вправо – надеемся, с этим никто не поспорит – тогда как вертикальная указывает вверх. А теперь делаем ещё один шаг и получаем правую тройку. Представьте, что из начала отсчёта на нас смотрит ось Z. Все! Теперь даже школьники знают, что такое правая тройка векторов.

Зачем это нужно? В Википедии написано, что можно брать и левые тройки, и правые при нахождении векторного произведения, но это не совсем так. Усманов в этом плане более категоричен. С разрешения Александра Евгеньевича приведём более точное определение: векторным произведением векторов называют вектор (не подумайте о масляном масле, но без этих терминов предложение теряет смысл), удовлетворяющий трём условиям:

  1. Модуль произведения равен произведению модулей исходных векторов на синус угла между ними.
  2. Вектор результата перпендикулярен каждому из исходных.
  3. Тройка векторов (по порядку их упоминания в нашем тексте) правая.
Читайте также:  Импульсный источник питания

А что такое правая тройка, мы уже знаем. Итак, если ось Х – это первый вектор, Y – второй, то Z как раз и будет результатом. Почему это назвали именно правой тройкой? По-видимому, это как раз связано с винтами и буравчиками. Дело в том, что если закручивать воображаемый буравчик по кратчайшей траектории от первого вектора ко второму, то поступательное движение оси этого режущего инструмента станет происходить в направлении результирующего вектора. Итак, мы должны понять следующее:

  1. Правило буравчика применяется к произведению двух векторов.
  2. Правило буравчика лишь качественно указывает направление результирующего вектора от этого действия. Количественно длина находится по выражению, упомянутому выше (произведение модулей векторов на синус угла между ними).

Теперь каждому понятно, что сила Лоренца находится согласно правилу буравчика с левосторонней резьбой. Векторы в этом случае собраны в левую тройку, и если они взаимно ортогональны (перпендикулярны один другому), то образуется левая система координат. В этом случае на доске ось Z смотрела бы в направлении нашего взгляда (от аудитории за стену).

Простые приёмы для запоминания правил буравчика

Это кажется странным, но многие даже не знают, что силу Лоренца проще всего определять по правилу буравчика с левосторонней резьбой. А между тем, любой, кто хочет понять принцип действия электрического двигателя, должен как дважды два щелкать подобные орешки. В зависимости от конструкции число катушек на роторе может быть весьма значительным, либо вообще схема вырождается в беличью клетку. Но каждый раз ищущим знаний помогает правило Лоренца. Потому что все так же имеется магнитное поле, в котором движутся проводники из меди.

Для запоминания нужно представлять физику процесса. Допустим, у нас движется электрон в поле. Применяется правило правой руки для нахождения направления действия силы, и это правильно. Доказано, что частица имеет отрицательный заряд. Поэтому когда направление действия силы на проводник находится по правилу левой руки, мы вспоминаем, что физики совершенно откуда-то с левых ресурсов взяли, что электрический ток течёт в направлении противоположном тому, куда направились электроны. И это неправильно. Поэтому приходится применять правило левой руки.

Не всегда следует идти такими дебрями. Казалось бы, эти правила только больше запутывают, но на самом деле это не совсем так. Правило правой руки часто применяется для вычисления угловой скорости, которая является геометрическим произведением ускорения на радиус: V = ω х r. В этом случае многим поможет визуальная память:

  1. Вектор радиуса круговой траектории направлен из центра к окружности.
  2. Если вектор ускорения направлен вверх, то тело движется против часовой стрелки.

Посмотрите, здесь опять действует правило правой руки: если расположить ладонь так, чтобы вектор ускорения входил перпендикулярно в ладонь, а персы вытянуть по направлению радиуса, то отогнутый на 90 градусов большой палец укажет в направлении движения объекта. Достаточно один раз это нарисовать на бумаге, чтобы запомнить минимум на половину своей жизни. Картинка действительно очень простая, а правая рука все время под рукой – извините за тавтологию. И больше на уроке физики не придётся ломать голову над таким простым вопросом, как направление вектора углового ускорения.

Совершенно аналогичным образом определяется момент силы. Он исходит перпендикулярно из оси плеча и совпадает по направлению с угловым ускорением на рисунке, описанном выше. Многие спросят: зачем это нужно? Почему момент силы не может быть скалярной величиной? Зачем ему направление? В сложных системах непросто проследить все взаимодействия. Если много осей и сил, то помогает лишь векторное сложение моментов. И можно значительно упростить вычисления.

Это нужно во многих ситуациях. Владельцы авто застыли в недоумении, но биомеханики должны согласиться. Когда много суставов, а траектория движения достаточно сложная, то невольно задумаешься. А ведь имеются и программы по расчёту процесса, активно используемые не только спортсменами, но и их тренерами.