Когерентные волны

Когерентные волны – это колебания, разность фаз которых постоянна. Разумеется, условие может выполняться не в каждой точке пространства, а лишь на некоторых участках. Очевидно, что для удовлетворения определению, частоты колебаний также должны быть равными. Прочие волны могут быть когерентны только лишь на некотором участке пространства, а дальше разность фаз меняется, и это определение использовать уже нельзя.

Зачем это нужно

Когерентные волны являются упрощением, реально не встречающимся на практике. Как бы то ни было, эта математическая абстракция помогает во многих отраслях науки, таких как, космос, термоядерные и астрофизические исследования, акустика, музыка, электроника и, конечно же, оптика.

Для реальных приложений применяются упрощённые методы, одним из которых является трёхволновая система, основы применимости которой вкратце изложены ниже. Для анализа взаимодействия можно задать, к примеру, гидродинамическую или кинетическую модель.

Интерференция волн

Интерференция волн

Решение уравнений для когерентных волн позволяет также предсказать устойчивость систем, функционирующих с использованием плазмы. Теоретический подсчёт показывает, что в некоторых случаях амплитуда результата за короткий период растёт до бесконечности. Что означает создание взрывоопасной ситуации. Решая уравнения для когерентных волн, можно подбором условий избежать неприятных последствий.

Определения

Для начала следует ввести несколько определений:

  • Монохроматической называется волна строго одной частоты. Ширина её спектра равна нулю. На графике это одна-единственная гармоника.
  • Спектр сигнала – это графическое представление амплитуды слагающих гармоник, где по оси абсцисс (ось Х, горизонтальная) откладывается частота. Спектром синусоидального колебания (монохроматической волны) является одна-единственная спектринка (вертикальная чёрточка).
  • Преобразованиями Фурье (обратным и прямым) называют разложение сложного колебания на монохроматические гармоники и обратное сложение целого из разрозненных спектринок.
  • Волновой анализ цепей для сложных сигналов не проводится. Вместо этого происходит разложение на отдельные синусоидальные (монохроматические) гармоники, для каждой из которых сравнительно просто составить формулы описания поведения. При расчёте на ЭВМ этого хватает для анализа практически любых ситуаций.
  • Спектр любого непериодического сигнала бесконечен. Поэтому границы его обрезаются до разумных пределов перед проведением анализа.
  • Дифракцией называется отклонение луча (волны) от прямолинейной траектории вследствие взаимодействия со средой распространения. Например, это может проявляться при преодолении фронтом щели в каком-либо препятствии.
  • Интерференцией называется явление сложения волн. Из-за чего может наблюдаться весьма причудливая картина из чередующихся полос света и тени.
  • Рефракцией называется преломление хода волны на разделе двух сред с различными параметрами.
Волны колебаний

Волны колебаний

Понятие когерентности

Советская энциклопедия говорит, что волны одной частоты всегда когерентны. Это верно, но только для отдельно взятых неподвижных точек пространства. Фаза определяет результат сложения колебаний. Так например, противофазные волны одной амплитуды дают прямую линию. Такие колебания гасят друг друга. Самая большая амплитуда будет у синфазных волн (разность фаз равна нулю). На этом факте основан принцип действия лазеров, зеркальная и фокусирующая системы которых, а также особенности получения излучения делают возможной передачу информации на колоссальные расстояния.

Согласно теории взаимодействия колебаний когерентные волны образуют интерференционную картину. И у новичка возникает вопрос: свет лампочки не кажется вовсе полосатым – почему? По той причине, что излучение не одной частоты, а лежит в пределах некоторого отрезка спектра. И участок этот приличной ширины. Из-за неоднородности частот волны беспорядочные. Вот поэтому и не проявляются их теоретически и экспериментально в лабораториях обоснованные и доказанные свойства.

Хорошей когерентностью обладает луч лазера. Поэтому его и используют для связи на дальние расстояния при прямой видимости и некоторых других целей. Когерентные волны дальше распространяются в пространстве и на приёмнике подкрепляют друг друга. Тогда как в пучке света разрозненной частоты эффекты могут вычитаться. Можно даже так подобрать условия, что излучение будет исходить от источника, но на приёмнике ничего не зарегистрируется.

Читайте также:  Коронный разряд

А что же обычный свет лампочки, тоже работает не на полную мощность? Именно так. Поэтому достичь КПД в 100% на современном этапе развития техники не представляется возможным. К примеру, газоразрядные лампы сами по себе страдают сильной дисперсией частот. Что касается светодиодов, то основатели концепции нанотехнологий обещали создать элементную базу для производства полупроводниковых лазеров, но воз и ныне там. Значительная часть разработок вовсе засекречена и рядовому обывателю недоступна.

Итак, лишь когерентные волны проявляют явно свои волновые качества. Проще говоря, они действуют согласованно, как лучинки веника. Которые по одной можно было сломать, но вместе взятые они легко выметают мусор. Тогда как волновые свойства, а именно – дифракция, интерференция и рефракция – характерны для всех колебаний. Просто зарегистрировать эффект сложнее из-за беспорядочности процесса.

Когерентные волны не демонстрируют дисперсии. По той причине, что имеют одну частоту и одинаково отклоняются призмой. Строго говоря, все примеры волновых процессов в физике даются, как правило, для когерентных колебаний. На практике же приходится учитывать некоторую малую, но все же наличествующую, ширину спектра. Что накладывает свои особенности на процесс расчёта. Как зависит реальный результат от того, что волна не является строго когерентной? На этот вопрос как раз и пытаются ответить многочисленные учебники и разрозненные издания с замысловатыми названиями! Единого ответа не существует, потому что он зависит очень сильно от отдельно взятой ситуации.

Волновые пакеты

Для облегчения решения практической задачи можно ввести, например, определение волнового пакета. Каждый из них разбивается дальше на более мелкие части. И эти подразделы взаимодействуют когерентно между теми же частотам другого пакета. Следует сказать, что такой аналитический метод широко распространён в радиотехнике и электронике. В частности, понятие спектра изначально вводилось именно для того, чтобы дать в руки инженеров надёжный инструмент, позволяющий оценить поведение сложного сигнала в тех или иных случаях. Оценивается малая толика воздействия каждого гармонического колебания на систему, после чего конечный эффект находится их полным сложением.

Следовательно, при оценке реальных процессов, не являющихся даже близко когерентными, можно все-таки разбить объект анализа на простейшие составляющие с тем, чтобы оценить результат того или иного процесса. Расчёт упрощается с применением вычислительной техники. Машинные эксперименты показывают достоверность тех или иных формул для имеющейся ситуации.

На начальном этапе анализа полагают, что пакеты с малой шириной спектра можно условно заменить гармоническими колебаниями и в дальнейшем пользоваться обратным и прямым преобразованием Фурье для оценки результата. Эксперименты показали, что разброс фаз между выбранными пакетами обычно со временем возрастает (колеблется с постепенным увеличением разброса). Но для трёх волн разница постепенно сглаживается, согласуясь с излагаемой теорией. Накладывается и ряд ограничений:

  1. Пространство должно быть бесконечным и однородным (k-пространство).
  2. Амплитуда волны не затухает с увеличением дальности, но может меняться с течением времени.

Доказано, что в такой среде каждой волне можно подобрать конечный спектр, что автоматически делает возможным машинный анализ, а при взаимодействии пакетов спектр результирующей волны уширяется. То есть колебания по сути когерентными не являются, но описываются всё же уравнением суперпозиции, представленном ниже. Где волновой вектор ω(k) определяется по дисперсионному уравнению; Еk является амплитудой гармоники рассматриваемого пакета; k – волновое число; r – пространственная координата, для которой решается представленное уравнение; t – время.

Уравнение суперпозиции

Уравнение суперпозиции

Время когерентности

В реальной ситуации разнородные пакеты когерентны лишь на некотором интервале. А далее расхождение фаз становится слишком большим для того, чтобы применять описанное выше уравнение. Чтобы вывести условия возможности вычислений, вводится понятие времени когерентности.

Читайте также:  Закон Кирхгофа

Для этого полагается, что в начальный момент фазы всех пакетов одинаковы. То есть выбранные элементарные доли волны когерентны. Тогда искомое время находится, как отношение числа Пи к ширине спектра пакета. Если время превысило когерентное, то в данном участке уже нельзя использовать формулу суперпозиции для сложения колебаний. По той причине, что фазы слишком сильно отличаются друг от друга. То есть волна уже не является когерентной.

Пакет можно рассматривать так, будто он обладает случайной фазой. В этом случае взаимодействие волн идёт по другой схеме. Тогда находятся фурье-компоненты по указанной формуле для дальнейших расчётов. Причём взятые для расчёта две другие компоненты могут быть из трёх пакетов. Тот самый случай совпадения с теорией, о котором говорилось выше. Следовательно, уравнение показывает зависимость всех пакетов друг от друга. А ещё точнее – результата их сложения.

Для получения наилучшего результата нужно, чтобы ширина спектра пакета не превышала числа Пи, делённого на время, в течение которого решается задача суперпозиции когерентных волн. При расстройке частоты амплитуды гармоник начинают осциллировать, и точный результат получить сложно. И наоборот, для двух когерентных колебаний формула сложения упрощается максимально. Амплитуду можно найти как квадратный корень из суммы исходных гармоник, возведённых в квадрат и сложенных с собственным удвоенным произведением, помноженным на косинус разности фаз. Поскольку у когерентных величин угол равен нулю, то и результат, как уже было указано выше, получается максимальным.

Наравне с временем и длиной когерентности используют также термин «длина цуга», что является аналогом второго термина. Для солнечного света эта дистанция составляет один микрон. То есть спектр нашего светила очень широкий, что и объясняет столь мизерную дистанцию, на которой его излучение можно считать когерентным самому себе. Для сравнения, длина цуга газового разряда может достигать 10 см (в 100000 раз больше), а у лазера излучение сохраняет свои свойства и на километровых расстояниях.

С радиоволнами намного проще. Кварцевые резонаторы позволяют достичь весьма высокой когерентности волны, чем и объясняются пятна уверенного приёма на местности, граничащие с зонами молчания. То же самое проявляет себя при изменении имеющейся картины с течением суток, движением облаков и некоторыми другими факторами. Изменяются условия распространения когерентной волны, и интерференционная суперпозиция оказывает своё влияние в полной мере. В радиодиапазоне на низких частотах длина когерентности может превышать поперечник Солнечной системы.

Условия сложения сильно зависят от формы фронта. Наиболее просто задача решается для плоской волны. Но на деле фронт обычно является сферическим. То есть точки синфазности находятся на поверхности шара. В бесконечно удалённой от источника местности условие плоскости можно принять за аксиому, и дальнейший расчёт вести согласно этому постулату. Чем ниже частота, тем проще создать условия для выполнения расчёта. И наоборот, источники света со сферическим фронтом (вспомним Солнце) очень сложно подогнать под стройную теорию, написанную в учебниках.